奈奎斯特定理与香农定理

这两个定理共同确定了信道的极限信息传输速率，是数字通信理论的基石。

奈奎斯特（Nyquist）定理

适用场景：理想低通信道（无噪声）

\[C_{Nyquist} = 2W \log_2 M \text{ (bit/s)}\]

码元传输的最高速率（波特率）：\(= 2W\) 码元/秒

课件原文：

具体的信道所能通过的频率范围总是有限的。信号中的许多高频分量往往不能通过信道。接收端收到的信号波形失去了码元之间的清晰界限，这种现象叫做码间串扰。

适用场景：有随机热噪声的信道（更符合实际）

\[C_{Shannon} = W \log_2(1 + S/N) \text{ (bit/s)}\]

信噪比换算（课件原文）：

\[\text{信噪比(dB)} = 10 \log_{10}(S/N)\]

例如：\(S/N = 10\) → 10 dB；\(S/N = 1000\) → 30 dB

定理	约束来源	给出的限制	含义
奈奎斯特	带宽（频率限制）	最高码元速率	激励工程师设计更多电平的编码
香农	噪声（信噪比）	最高信息速率（绝对上限）	警告无论多复杂的编码也不能突破

课件原文：

奈氏准则：激励工程人员不断探索更加先进的编码技术，使每一个码元携带更多比特的信息量。香农公式：告诫工程人员，在实际有噪声的信道上，不论采用多么复杂的编码技术，都不可能突破信息传输速率的绝对极限。

实际信道容量由两个定理共同约束，取较小值：

例：带宽3100 Hz，信噪比30 dB（\(S/N = 1000\)）的电话信道： - 香农极限：\(C = 3100 \times \log_2(1001) \approx 30,894\) bit/s ≈ 30 kbit/s - 实际调制解调器（56 kbit/s Modem）已接近此极限

课件原文：用编码的方法让每一个码元携带更多比特的信息量。

例如，8个电平（\(M=8\)）的编码，每个码元携带 \(\log_2 8 = 3\) 比特，以同样的码元速率，信息速率提高3倍。